to mock a mockingbirdを読む(11)9章

Larks

鳥Lは次の条件を満たすときLarkと呼ばれる

(Lx)y = x(yy)

Problem 24

LarkとIdentity birdのいる森にはMockingbirdがいることを証明せよ

解

LIx=I(xx)=xx
よってM=LIである

Problem 25

森にLarkがいれば、各鳥は少なくとも1つの鳥を好きである
Larkの存在はすべての鳥をnormalにする
すべてのnormal birdは幸せ(happy)である by problem 7
よってLarkが森にいればすべての鳥が幸せになる
なぜこれが正しいか

解

(Lx)y=x(yy)=x(My)
Lx = xM
任意の鳥xについて
(Lx)(Lx)=xM(xM)
=x(xM)(xM)
=x(Lx)(Lx)

Problem 26

なぜ絶望的に自己中心的なLarkは非常に魅力的か

解

Problem 25より各鳥は少なくとも1つの鳥が好きであるが
Larkが絶望的に自己中心的な時、その鳥もLarkになる
よってすべての鳥はLarkが好きである

Problem 27

どんな鳥もLarkかつKestrelにはなれないと仮定する
LarkがKestrelを好きになるのは不可能であることを証明せよ

解

LK=Kが成り立っていると仮定する
LKxy=K(xx)y=xx
Kxy = x
よってxx = xとなり
任意のxは自己中心的である
特にKも自己中心的であるため
[Problem11](/2019/01/14/tmm08)より
Kは絶望的に自己中心的である
しかるにそこには1種類の鳥しかいないことになり
これはLとKが異なるという仮定に反する

Problem 28

しかしながらKrdytrlがLarkを好きな時、
各鳥はLがすきなことを示せ

解

KL=L
KLx=L=Lx
よってLは絶望的に自己中心的
Problem26よりすべての鳥はLarkが好き

Problem 29

森にLarkがいるというその条件だけで、
少なくとも一つの鳥が自己中心的(egocentric)であることを示せる
Lが与えられて実際に自己中心的な鳥を書き下すことができるが
かっこを除いて12個ものLが必要になる
これを見つけよ

解

Lには好きな鳥yが存在するので
LLy=y
また
LLy=L(yy)
よって
L(yy)=y
L(yy)y=yy
また
L(yy)y=yy(yy)
よって(yy)は自己中心的
yはLLが好きな鳥なので
Problem 25よりLLは(Lx)(Lx)=(L(LL))(L(LL))が好き
これがyなので
yyは((L(LL))(L(LL)))((L(LL))(L(LL)))