to mock a mockingbirdを読む(39)14章

Curry’s Lively Bird Forest

Craigはカリーの森に到着した。
そこで最初にしたことは、鳥類学者Byrdにインタビューすることであった。
Byrdが言うには、「この森ではある鳥はある日に鳴く。
私の目的はどの鳥がどの日に鳴くかを決定することである。」
Byrdは次の4つの法則を見つけた。

law 1. 与えられた日にyが歌えば、Pxyもその日に歌う
law 2. もしxが与えられた日に歌わなければPxyはその日に歌う
law 3. 与えられた日にxとPxyがどちらも歌うならば、yもその日に歌う
law 4. 各鳥xについてPyxが歌う日のみに歌うyが存在する

ByrdはCraigに、統一した一つの法則が見出せないか相談し、
Craigは次のシンプルな統一法則を見つけた

law. 全ての鳥は全ての日に歌う

Problem 1

なぜ上の統一法則が従うか

解

まず、もしxが歌う日全てでyが歌うなら
Pxyは全ての日で歌わなければならない。
もしxが歌わなければPxyは歌う(law2)。
もしxが歌うなら、yもその日に歌う(仮定より)
よってPxyもその日に歌う(law1)
xがその日歌うか歌わないかに関わらず
Pxyは全ての日で歌う

今、任意の鳥xが与えられたとして、xは全ての日で歌うことを示す。
law4よりPyxが歌う日のみに歌うyが存在する。
yが歌う任意の日を考える。
Pyxもその日歌う(law4)。
またyが歌うのでxもその日歌う(law3)
これにより、yが歌う全ての日でxが歌うことが示された。
また、前の段で検討したのと同様にPyxも毎日歌う。
yはPyxと同じ日に歌うので結局yも毎日歌う。
従って、何の日に限らずyとPyxは歌うのでxも毎日歌う(law3)

Problem 2

4番目の法則の代わりに森にLarkがいる場合全ての鳥は毎日歌うか
またLarkの代わりにCardinalがいる場合はどうか
またLarkとCardinalが両方いる場合はどうか

解

LとCがそれぞれ単体で与えられた場合は全ての鳥が毎日歌うことを示す方法はないが
LとCが両方与えられた場合は次のようにlaw 4を導くことができる。
Lが存在すると、任意の鳥xはLx(Lx)が好きであることは以前示した。
任意の鳥xについてCPxはある鳥yが好きである。
CPxy=y
Pyx=y
が成り立つのでPyxとyは同じ鳥である故にlaw 4が成立する

Problem 3

再びlaw 4がなくlaw 1からlaw3までが成り立っているとする。
ここで、全ての鳥が毎日歌うことを示すsingle combinatorial birdを見つけよ

解

Axyz=x(zz)yとなるようなAを考える。
任意の鳥xとyについて
APxy=P(yy)x
よって
APx(APx)=P(APx(APx))x
y=APx(APx)と置くとy=Pyxとなる