to mock a mockingbirdを読む(40)15章

Russell’s Forest

Craigはラッセルの森に到着した。
そこで、鳥類学者McSnurdにインタビューを行った。
この森では次の法則が成り立つと伺った。

law 1.任意の鳥xについて、xxが歌う日のみにaxが歌うような特別な鳥aがいる
law 2.任意の鳥xについて、ある鳥x'が存在して、任意の鳥yについてxyが歌わない日のみにx'yは歌う

Problem 1

上の2つの法則は矛盾する。なぜか

解

McSnurdから聞いた法則が真実だとすると
任意の鳥xについて、xxが歌う日のみにaxが歌うような特別な鳥aがいる
law2より、ある鳥a'が存在して任意の鳥xについてaxが歌わない日のみに歌うa'xがいる。
law1よりxxが歌う日のみにaxが歌うので、axが歌わない日はxxも歌わない。
よってxxが歌わない日に歌うa'xが存在する
特にxにa'をとると
a'a'が歌わない日に歌うa'a'が存在することになり、これは矛盾である

Problem 2 A Follow-up

Craigは前の結果に落胆し、別の鳥類学者を探したところ
McSnurdの兄弟もまた鳥類学者であることが判明したのでインタビューを行った。
すると、次の法則が成り立つということを伺った

law 1.任意の鳥xについて、xが歌わない時のみに歌うNxが存在する
law 2.この森にはSage Birdがいる

しばらくのち、CraigはこのMcSnurdも兄弟と同じくらい悪いことに気づく。
それはなぜか

解

McSnurdから聞いた法則が真実だとすると
任意の鳥xについてNx≠xである
この森にはSage BirdがいるのでNは何らかの鳥が好き。
よってNx=xであり矛盾する

Problem 3 A Second Follow-up

Craigはさらに別のMcSnurdの兄弟も鳥類学者であることがわかったのでインタビューを行った。
すると、次の法則が成り立つことを伺った

law 1.この森にはSage birdがいる
law 2.ある鳥Aが存在して、任意の鳥xとyについてxとyがどちらも歌わない日にAxyは歌う

McSnurdはこれでもうトラブルには巻き込まれないと言っているが
この三番目のMcSnurdの話は筋が通っているか

解

McSnurdから聞いた法則が真実だとする。
Sage birdがいるので任意の鳥xについてAxは何らかの鳥が好き
よってAxy = y
xもyも歌わないときにyは歌うのでyについて矛盾が起こる。