SKSx=Kx(Sx)=x
SKKx=Kx(Kx)=x
よってI=SKS=SKKである
なお、一般的な慣習としてはSKKが使われる

SIIx=Ix(Ix)=xx=Mx
よってM=SIIである

SI(Kx)y=Iy(Kx)y=yx
よってX1=SI(Kx)である。
K(SI)x=SI
Kx = Kx
なので
S(K(SI))Kx=(K(SI)x)(Kx)=SI(Kx)
よってX2=S(K(SI))KがThrushである。
ここは本ではT=S(K(SI))となっているが誤りと思われる
S(K(SI))Kxy=K(SI)x)(Kx)y
=SI(Kx)y
=Iy(Kxy)
=yx
となりチェックも通る

Sに2つ作用させるものを考える。(それぞれにzを作用させる)
Kxz=x
yz=yz
なのでS(Kx)yz=Kxz(yz)=x(yz)
よってX1=S(Kx)yである。

これは既にX2y=S(Kx)yという形をしているので
X2=S(Kx)である

最後にX3x=X2となるものを考える。
Sに二つ作用させるものを考える(それぞれにxを作用させる)
これがそれぞれSとKxとなるようになるものを考えれば良い。
KSx=S
Kx=Kx
よってS(KS)Kx=KSx(Kx)=S(Kx)
つまりB=S(KS)Kである

law 1.この森の全てのナイチンゲールは歌う
law 2.x'yはxyが歌わないときに限り、歌う
law 3.x*yはx(yy)が歌うときに限り、歌う
law 4.Nxはxがナイチンゲールであるときに限り歌う

NについてN'*を考え、これをAとする
AA、つまりN'*N'*がナイチンゲールではない歌う鳥Gであることを示す。

鳥Aは任意の鳥xについてxxがナイチンゲールでないときに限りAxが歌うという属性を持つ。これを示す。
N'*はN'(xx)が歌うときに限り歌う(law 3)。
N'(xx)はN(xx)が歌わないときに限り歌う。これはxxがナイチンゲールでないときに限り真である(law 4)
これらより、N'*はxxがナイチンゲールでないときに限り歌う。よって上の属性が示される。

xにAをあてはめると、AAはAAがナイチンゲールでないときに限り歌う。
これは、AAがナイチンゲールでなく歌うか、AAは歌わないがナイチンゲールであるかのどちらかであるが
law 1より後者は起こり得ない
よってAAはナイチンゲールではないが歌う鳥Gである。

N*'(N'*ではない)をA1とおく。
前問と類似の考察によって、A1A1=G1はナイチンゲールではないが歌う鳥G1である

まず、law3の基礎の上に、societyは歌う鳥が属するか、歌わない鳥が属さないことを証明する。
任意のsociety Sをとる。Sはなんらかの鳥Aによってrepresentされる。
ここでA*を考える。任意の鳥xについてA*xはA(xx)が歌うときのみに歌う。(law 3)
またA(xx)はxxがSのメンバーであるときにのみ歌う。なぜならAはSをrepresentするから。
よってA*xはxxがSのメンバーであるときにのみ歌う。
特にA*A*はA*A*がSのメンバーであるときにのみ歌う。
よって、歌うA*A*はSのメンバーであるか、歌わないA*A*はSに含まれないかのどちらかである

ここで、全ての歌う鳥がsocietyを作るとすると次の矛盾が導かれる。
全ての歌う鳥の集合は何らかの鳥Aによってrepresentされる。
law 2よりA'は全ての歌わない鳥の集合をrepresentする。
これより歌わない鳥の集合はsocietyを作るがこれは不可能である。
なぜなら、この集合は歌う鳥を含むか、歌わない鳥が存在してはならないからである。
よって全ての歌う鳥はsocietyを作らないことが導かれる

law 1.任意の鳥xとyについてexyが与えられた日に歌えば、yも歌う
law 2.任意の鳥xとyについてxとexyは決して同じ日には歌わない
law 3.任意の鳥xとyについてexyはxが歌わずyが歌う日に毎日歌う
law 4.任意の鳥xについて、ある鳥yが存在してyはeyxが歌うのと同じ日に歌う

これは、Curryの森のProblem 1と本質的に同じ。
Curryの森の法則(再掲)
law 1. 与えられた日にyが歌えば、Pxyもその日に歌う
law 2. もしxが与えられた日に歌わなければPxyはその日に歌う
law 3. 与えられた日にxとPxyがどちらも歌うならば、yもその日に歌う
law 4. 各鳥xについてPyxが歌う日のみに歌うyが存在する

鳥がsilentであるとは、与えられた日にその鳥が歌わないことを言うことにする。
すると与えられた条件は次のように言い換えられる

law 1.もしyが与えられた日にsilentなら、exyもその日はsilent
law 2.もしxがsilentでなければ、exyはその日silent
law 3.xとexyがどちらもsilentであれば、yもその日silent
law 4.任意の鳥xについてeyxがsilentである日のみにsilentであるyが存在する

前回と同じ議論(歌うがsilentに変わっている)により
全ての鳥は毎日silentであることが導かれる

law 1.任意の鳥xについて、xxが歌う日のみにaxが歌うような特別な鳥aがいる
law 2.任意の鳥xについて、ある鳥x'が存在して、任意の鳥yについてxyが歌わない日のみにx'yは歌う

McSnurdから聞いた法則が真実だとすると
任意の鳥xについて、xxが歌う日のみにaxが歌うような特別な鳥aがいる
law2より、ある鳥a'が存在して任意の鳥xについてaxが歌わない日のみに歌うa'xがいる。
law1よりxxが歌う日のみにaxが歌うので、axが歌わない日はxxも歌わない。
よってxxが歌わない日に歌うa'xが存在する
特にxにa'をとると
a'a'が歌わない日に歌うa'a'が存在することになり、これは矛盾である

law 1.任意の鳥xについて、xが歌わない時のみに歌うNxが存在する
law 2.この森にはSage Birdがいる

McSnurdから聞いた法則が真実だとすると
任意の鳥xについてNx≠xである
この森にはSage BirdがいるのでNは何らかの鳥が好き。
よってNx=xであり矛盾する

law 1.この森にはSage birdがいる
law 2.ある鳥Aが存在して、任意の鳥xとyについてxとyがどちらも歌わない日にAxyは歌う

McSnurdから聞いた法則が真実だとする。
Sage birdがいるので任意の鳥xについてAxは何らかの鳥が好き
よってAxy = y
xもyも歌わないときにyは歌うのでyについて矛盾が起こる。

law 1. 与えられた日にyが歌えば、Pxyもその日に歌う
law 2. もしxが与えられた日に歌わなければPxyはその日に歌う
law 3. 与えられた日にxとPxyがどちらも歌うならば、yもその日に歌う
law 4. 各鳥xについてPyxが歌う日のみに歌うyが存在する

law. 全ての鳥は全ての日に歌う

まず、もしxが歌う日全てでyが歌うなら
Pxyは全ての日で歌わなければならない。
もしxが歌わなければPxyは歌う(law2)。
もしxが歌うなら、yもその日に歌う(仮定より)
よってPxyもその日に歌う(law1)
xがその日歌うか歌わないかに関わらず
Pxyは全ての日で歌う

今、任意の鳥xが与えられたとして、xは全ての日で歌うことを示す。
law4よりPyxが歌う日のみに歌うyが存在する。
yが歌う任意の日を考える。
Pyxもその日歌う(law4)。
またyが歌うのでxもその日歌う(law3)
これにより、yが歌う全ての日でxが歌うことが示された。
また、前の段で検討したのと同様にPyxも毎日歌う。
yはPyxと同じ日に歌うので結局yも毎日歌う。
従って、何の日に限らずyとPyxは歌うのでxも毎日歌う(law3)

LとCがそれぞれ単体で与えられた場合は全ての鳥が毎日歌うことを示す方法はないが
LとCが両方与えられた場合は次のようにlaw 4を導くことができる。
Lが存在すると、任意の鳥xはLx(Lx)が好きであることは以前示した。
任意の鳥xについてCPxはある鳥yが好きである。
CPxy=y
Pyx=y
が成り立つのでPyxとyは同じ鳥である故にlaw 4が成立する

Axyz=x(zz)yとなるようなAを考える。
任意の鳥xとyについて
APxy=P(yy)x
よって
APx(APx)=P(APx(APx))x
y=APx(APx)と置くとy=Pyxとなる

A1x = A2x

Θは賢人鳥なのでΘx = x(Θx)
またOΘx=x(Θx)
よってΘx=OΘxが成り立つのでΘとOΘはsimilarである

extensionalな森では、Θが賢人鳥だとするとOΘはΘとsimilarである。
よってOΘ=Θとなり、Owlは賢人鳥が好きである
森はextensionalであるので、Owlは全ての賢人鳥が好きである

任意のxをとるとxはΘxが好きである。
Problem 17の結果よりxはx(Θx)が好きである。
x(Θx)はOΘxであるのでxはOΘxが好きである。
よってOΘは賢人鳥である。

Θが賢人鳥だとすると
任意のyについて
Θy=y(Θy)
特に
ΘO=O(ΘO)
任意のxについて
ΘOx=O(ΘO)x
=x(ΘO)x
これはxがΘOxを好きだということなので
ΘOは賢人鳥である。

OA=Aが成り立っているとすると
A=OA
任意のxについて
Ax=OAx=x(Ax)
xはAxが好きなのでAは賢人鳥である。

Θは賢人鳥なのでAはΘAが好きである
Aはchoozyなので、ΘAもまた賢人鳥である

Oxy = y(xy)

Oxy = y(xy)
= Byxy
= CBxyy
= W(CBx)y
= BW(CB)xy

よってO=BW(CB)である

Oxy = y(xy)
= Qxyy
= W(Qx)y
= QQWxy

よってQとWを使うとO=QQWである

U=y(xxy)
=O(xx)y
=LOxy
よってU=LOであり賢人鳥はLO(LO)である

OI=y(Iy)=yy
よってM=OIである

SIxy=Iy(xy)=y(xy)
よってO=SIである

xがyを好きならば
xy = y
xがyを好きかつy = xyより
x(xy) = xy
よってxはxyが好き

SLLは賢人鳥だったので
SLL = WSL = WS(BWB)が解

Uxy = y(xxy)

B,M,Tのいる森にはW,L,Qもいる
Uxy = y(xxy)
=Q(xx)yy
=LQxyy
=W(LQx)y
=BW(LQ)xy

よってU = BW(LQ)である

任意のxとyについて
Uxy = y(xxy)
UUy = y(UUy)
よってUUはSage Birdである

Lx(Lx)
=M(Lx)
=QLMx
またL=QMなので
Lx(Lx)
=QLMx
=Q(QM)Mx
よってQ(QM)Mは賢人鳥である

Lx(Lx)=SLLxなので
SLLが賢人鳥である